期待値とは？確率で利益を平均する意味を、投資判断から理解する

01期待値は「確率を重みとした平均」

サイコロで1が出たら600円、それ以外は0円もらえるとします。6回に1回の割合で600円、残り5回は0円。何度も同じ条件で繰り返せるなら、1回当たり平均100円を受け取る計算です。

この100円は「次の1回で100円もらえる」という予言ではありません。実際には600円か0円のどちらかです。期待値は、起こり得る結果をその確率で平均した値。これが基本の数学です。

02売上ではなく、投資を引いた利益で考える

工場の生産能力を高めるために、システムを新しく作るか、既存のものを改修するかを選ぶ場面を考えます。将来の需要には「拡大」と「縮小」の2通りがあり、どちらになるかは今は分かりません。

収入だけを見れば新規開発は魅力的です。しかし最初の投資も大きいので、利益を見なければ比較できません。この例の「利益」は、収入から提示された投資額だけを引いた金額として扱います。

成功時の利益は新規開発の方が10億円だけ大きいのに、需要が縮小すると損失は40億円も大きくなります。この非対称性が重要です。

03分岐図で4つの未来を整理する

まず自分で選べるのは「新規開発か、既存改修か」。その後の需要は自分では選べません。前者が意思決定、後者が確率で決まる出来事です。

各案の結果を確率で平均します。

この条件で期待金額価値を最大化するなら、既存改修の46億円を選びます。なお、46億円という利益が実際に発生するわけではありません。既存改修を選んだ場合、現実の結果は拡大時の＋70億円か、縮小時の−10億円です。

04なぜ確率を掛けて足すのか

この平均を、同じ状況の案件が10件あると仮定して確かめます。需要拡大が7件、縮小が3件という割合なら、新規開発を10件行った総利益は「80億円が7件、−50億円が3件」。つまり410億円で、1件当たり41億円です。

これはあくまで割合を直感的に表すための仮想例で、実際に10件行えば必ず7件拡大するという意味ではありません。試行回数が増えると平均が期待値に近づく、という考え方が背景にあります。

05数値を動かして判断の逆転を確かめる

需要拡大の確率は70%と推定していますが、もしこれが90%なら結論はどう変わるでしょう。確率は意思決定の答えを変えます。実際に動かして、期待値が「確率を重みとした平均」であることを確かめてください。

06期待値が大きければ必ず正解なのか

ここまでの比較では、期待利益が高い既存改修が優位です。ただし、期待値だけでは経営上の判断は完結しません。新規開発の需要縮小時は50億円の損失であり、会社の資金が足りなくなるかもしれません。一方で、一度しか実施できない投資は、何度も繰り返す平均の考え方だけでは割り切れません。

確率や金額が見積もりなら、その根拠を確かめることも必要です。実務ではキャッシュフロー、資金調達、将来の戦略的価値などを別途考慮します。

07リスク管理とのつながり

期待値は前の記事で扱ったリスク管理とも関係します。たとえば「障害が起きる確率が10%、起きた場合の復旧損失が1,000万円」なら、金銭的な期待損失は100万円です。対策に年間30万円かけて障害確率を2%にできるなら、対策後の期待損失は20万円、対策費を含めても50万円となり、モデル上は有利です。

ただし、ここでも同じ注意が必要です。期待損失100万円だからといって、被害額1,000万円を負担できるとは限りません。個人情報の流出や法令違反のように金額だけで評価できない影響もあります。だからこそ、期待値は判断の材料であって、判断そのものではないのです。